Kombinacje, wariacje i permutacje
Policz, na ile sposobów można wybrać k elementów z n. Z uwzględnieniem kolejności albo bez niej.
Jak korzystać z tej strony?
- Ustaw pola w formularzu powyżej — wynik przeliczy się od razu, bez przeładowania strony.
- Pod wynikiem znajdziesz skalę interpretacji, jeśli kalkulator ją ma: mówi, w którym przedziale wylądowała Twoja wartość.
- Wzór, z którego liczymy, stoi niżej na tej stronie — możesz sprawdzić rachunek samodzielnie.
- Chcesz policzyć to samo dla innej gry lub wariantu — zmień go w polu wyboru, ceny i pule podstawią się same.
Czego ta strona nie robi: Nie wskazuje liczb do zagrania i nie przewiduje wyniku losowania — każde losowanie jest niezależne od poprzednich.
Gdzie doczytać
Cała kombinatoryka sprowadza się do pytania „na ile sposobów”. Różnica między kombinacją a wariacją polega wyłącznie na tym, czy kolejność ma znaczenie. W Lotto zestaw liczb 3, 11, 24, 31, 38, 49 jest identyczny niezależnie od kolejności losowania. To kombinacja. Gdy ustawiasz sześć osób w kolejce, kolejność zmienia wszystko — to wariacja albo permutacja.
Przykład z Lotto. Wybierasz sześć liczb z czterdziestu dziewięciu. Kombinacji bez powtórzeń jest 13 983 816. To znaczy, że prawdopodobieństwo trafienia szóstki jednym zakładem wynosi jeden do prawie czternastu milionów. Dla Mini Lotto, gdzie wybierasz pięć z czterdziestu dwóch, kombinacji jest tylko 850 668 — czyli szesnastokrotnie mniej niż w Lotto. Dokładnie ten sam rachunek stosuje się do systemów lotto: system pełny na osiem liczb to kombinacje osiem po sześć, czyli 28 zakładów.
Wyniki rosną szybciej, niż podpowiada intuicja. Permutacja dziesięciu elementów to już ponad trzy miliony układów, a dwudziestu — ponad dwa i pół tryliona. Ograniczyliśmy n do 170 — dalej wynik przestaje mieścić się w standardowym typie liczbowym. W trybach bez powtórzeń k nie może być większe od n, bo nie da się wybrać siedmiu różnych liczb z sześciu.
Czytaj więcej
Najczęstsze pytania
Ile jest kombinacji sześciu liczb z czterdziestu dziewięciu?
Dokładnie 13 983 816. Tyle różnych kuponów trzeba by wypełnić, żeby mieć pewną szóstkę w Lotto.
Czym różni się kombinacja od wariacji?
Kombinacja nie uwzględnia kolejności, wariacja tak. Z 5 elementów po 3 mamy 10 kombinacji, ale aż 60 wariacji — sześć razy więcej, bo trzy elementy można ustawić na 6 sposobów.
Ile zakładów ma system pełny na 8 liczb w Lotto?
28 zakładów, bo tyle wynosi liczba kombinacji 6 z 8. Przy cenie 3 zł za zakład koszt takiego systemu to 84 zł.
Dlaczego kalkulator nie przyjmuje n większego niż 170?
Bo 171! przekracza maksymalną wartość liczby zmiennoprzecinkowej i wynik byłby nieskończonością. Do większych obliczeń potrzebna jest arytmetyka o dowolnej precyzji.
Zobacz także
Kalkulator pierwiastków dowolnego stopnia
Oblicz pierwiastek kwadratowy, sześcienny albo dowolnego stopnia z podanej liczby. Kalkulator obsługuje liczby
Kalkulator procentowy
Kalkulator procentowy online: procent z liczby, udział i zmiana procentowa oraz zwiększenie lub zmniejszenie w
Kalkulator rozkładu hipergeometrycznego
Prawdopodobieństwo k sukcesów przy losowaniu bez zwracania: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k), pełna tabela, średnia i wariancja — z przykładami kul, kart i loterii.